כמו לצעוד על אבנים כדי לחצות אגם

בתהליך פתרון בעיה ישנו שלב בחירת המסלול שבו נצעד בתקווה שזו הדרך שתביא אותנו לפתרון. הדבר דומה לאגם שברצוננו לחצות ואנו מתלבטים ובוחרים על איזה מן האבנים המבצבצים כדאי לדרוך. עכישו מגיע החלק החמקמק, הטעות האנושית... שימו לב שאם באמת הייתם רוצים לחצות את האגם הייתם מעריכים ומחשבים כל צעד וצעד, הרי אין ברצוננו להירטב חלילה בן פורת יוסף.
דווקא המרכיב הזה - הזהירות , השקילה, הבדיקה שאני באמת מכוונן לסלע הקרוב היא זאת שחסרה אצל הרבה תלמידים והרבה פעמים אנחנו רואים שהם מאבדים את דרכם, למשל תלמיד שמצא את 'y כשלמעשה היה צריך וידע שהוא צריך למצוא את y , מדובר בשלב פנימי רגשי בתוך האדם ולא בטכניקה.
אך מה שאני טוען פה לא מדוייק מספיק, כל אחד שוהה במצב "השקילה" בו הוא מחליט מה הצעד הבא. ההבדל הוא ברזולוצייה ובכך אני מתכוון לתלמיד ששיקול צעדיו פעם אחת בתחילת התרגיל וינסה לדלג על כל הסלעים במהירות הגדולה ביותר האפשרית ותלמיד שבכל סלע וסלע ישקול צעדיו ויבדוק שהוא אכן בכיוון הנכון. אלו הם שני הקצוות של התכונה וכל תלמיד נמצא אפשהו באמצע. בתור מורים כדאי לנו להיות מודעים לחשיבות השלב הזה שכן הוא מפתח להתפתחות הרגשית של התלמיד ופיתוח מיומנות כמו זהירות והערכה מוקדמת.

חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים - דימוי החדרים

כל מורה יש לו את הדימויים שלו לחישוב שטחים באמצעות אינטגרלים. הדימויים כמובן מתייחסים לתיאור השטח המוגבל. אני משתמש במושג "חדרים" כאשר לכל חדר (שטח) יש קיר שמאלי (הגבול השמאלי), קיר ימני (הגבול הימני), תקרה (פונקציה חוסמת מעל) ורצפה (פונקציה חוסמת מתחת). כאשר ציר ה- x הוא הפונצקיה החוסמת אני מסביר לתלמידים שגם ציר ה- x הוא פונציה והיא y=0 .
נוסחת האינטגרל תהיה אפוא :

חשוב מאוד להדגיש שהרצפה בתוך סוגריים כדי שלא יטעו במהלך ההצבה, הרי יש מינוס לפני הרצפה והוא ישנה כיוון לכל האיברים בפונקצייה המייצגת.

מתי מחלקים שטח לשני חדרים או יותר ?
בהתאם לדימוי החדרים אני מסביר לתלמיד שכאשר התקרה או הרצפה מיוצגת ע"י פונקציות שונות אני צריך "לחלק לחדרים" ולחשב את שטחו של כל חדר בנפרד ובסוף לחבר את התוצאות. למעשה אני לא משתמש במשפט "מיוצגת ע"י פונקציות שונות" אלא פשוט עובר עם האצבע ומראה לו שהתקרה הופכת מלהיות הגרף של פונקציה אחת לגרף של פונקציה אחרת ובנקודת השבירה אני מוריד "קיר".

רעש לבן - לא אצלנו.

סדר על הלוח חברים. בלי קשקושים מיותרים ואם יש כאלה (מה לעשות תמיד יש) אז לדאוג לנקות אותם לאחר שנגמר בהם השימוש. הרעש הלבן הזה הרי נקלט ע"י העין ומאוחסן יחד עם שאר התרגיל במקומות המרוחקים במוח - אלא ששומרים את המידע הרבה לאחר שאנחנו שוכחים אותו ויוצרים את מה שאנחנו קורים לו אינטואיציה. הרעש הלבן מקשה על התהליך הזה. השתדלו שבסופו של דבר, לאחר שהלוח נראה כמו שדה קרב לנקות אותו מכל הבלאגאן ולהשאיר רק את "הפתרון הנקי", זהו השלב החשוב ביותר ובו אתם צריכים לחזור על הפתרון בקצרה תוך כדי הדגשה של "המוקשים" שפירקתם בדרך וזה מה שמאפשר את בניית האינטואיציה.

טיפ נוסף : אני גם אוהב לאתגר את התלמידים בכך שאני מבקש מהם לאתר לפחות מוקש אחד נוסף ע"י כך שאני שואל אותם : "איפה תלמידים אחרים (לא אתם כמובן) יכולים לטעות כאן וכאן וכאן..."

דמיון משולשים - כלל זהב !

זה הכיוון ב- 100% מהמקרים - לאחר שמוכיחים דמיון, מוציאים את הפרופורציות ולאחר מכן מציבים בהם את מה שקבלנו מהנתונים (או את מה שכבר הוכחנו איכשהו) ואז ורק אז עושים חושבים איך ממשיכים.

הנקודה העשרונית של החיים

במהלך הלימודים במקצוע המתמטיקה, התלמיד מתוודה לנושא "עיגול שברים עשרוניים". בהרבה מיקרים אני שומע את הטענה "מה זה בכלל משנה" וכמובן שהתלמיד מתכוון לפעולת ה"עיגול כלפי מטה או מעלה". זוהי הזדמנות טובה מבחינתי לספר לתלמיד על "הנקודה העשרונית של החיים..." לדוגמה : זוכרים את פרשת גאלנט ? האלוף שנטע כמה עצים ובנה איזה שביל לבית שלו ... אני בטוח שבזמן הנטיעה ובניית השביל הוא חשב לעצמו "מה זה בכלל משנה" - הרי אני איש צבא מאוד חשוב ומוערך, מה אכפת לי מכמה אישורים קטנים. "הנקודה העשרונית" הזאת עלתה לו בתפקיד לו הוא הקדיש חיים שלמים - תפקיד הרמטכ"ל. אז כן, הנקודה העשרונית כן חשובה, אתה אף פעם לא יודע מתי היא תחכה לך בפינה ברגע שהכי לא תצפה ותכניס לך אחת טובה ככה...

תחילת השיעור וסוף השיעור - החלקים החשובים ביותר

תחילת השיעור הוא החלק החשוב ביותר בשיעור.

חשוב להקדיש דקה (ולא יותר) ל- "שלום מה נשמע", זה בעצם החלק של ה "bonding" בין המורה לתלמיד. לאחר מכן תמיד כדאי לשאול "מתי המבחן הקרוב שלנו ?" גם אם אתה יודע מתי המבחן הקרוב של התלמיד כדאי לשאול את השאלה הזאת כי היא שמה את התלמיד במצב של "עכשיו לומדים למבחן" ואם המבחן עוד רחוק אז זה מזכיר לו (לתלמיד) שהמבחן הוא בלתי נמנע וכדאי להתרכז.
כעת כדאי לעשות רשימה של הדברים עליהם נעבור בשיעור, הרשימה תהיה מורכבת בעיקר מדברים שהתלמיד עשה בשיעור בבית הספר (שיעורי הבית) ואולי גם מתכנים נוספים לפי מה שהמורה מחליט. בכל אופן כדאי לעשות את הרשימה בתחילת השיעור, היא מכניסה את כל תהליך השיעור למסגרת ומאפשרת חלוקת זמן לנושאים השונים.

היה שיעור מוצלח והגענו לסופו. בשלב זה מאוד כדאי לשקף לתלמיד את המצב שלו ולקבוע תגבורים במידה וצריך. כדאי לעשות זאת כעת ולא בתחילת השיעור כי בשלב זה קל לשכנע את התלמיד לתגבורים היות והוא רואה ומבין שהוא זקוק להם.

גאומטריה צריך לפתור בסטייל

אחד הגורמים המהותיים ביותר בתהליך הפתרון של שאלה בגאומטריה הוא סגנון הכתיבה. כדאי למורה להשקיע בסגנון אחיד כדי שהתלמיד יתרגל לצורה מסוימת. אין ספק שמדובר באומנות שמהותה ליעל עד כמה שיותר את התהליך המחשבתי. הנה הסגנון שלי, מחולק לשלבים :

1. מעתיקים את הציור למחברת או ללוח. שלב זה בעצם מאפשר לתלמיד לעשות היכרות מעמיקה עם כל האלמנטים של הציור ובהדרגה אחד אחרי השני (האפקט ההדרגתי מאוד משמעותי, לא כל תלמיד יכול "לעקל" כל תרגיל בראיה ראשונה)
2. כתיבת הנתונים בטבלה של טענה ונימוק. למעשה, הכתיבה של הנתונים נחשבים כבר לחלק מהפתרון ומזכים את התלמיד בנקודות. כדאי לוודא שהתלמיד יודע זאת היות וזה תורם לבניית הבטיחון העצמי שלו שהוא "עושה בסדר" ולכן מתוגמל.
   
   

"במקום להיות עסוק כל כך בלחפש פתרון, חפש את הבעיה" .

גאומטריה, תלמידה בכיתה י, 4 יחל :

רוב התלמידים פשוט עובדים על "אוטומט" וכלל לא מקדישים אנרגיה בלנסות להבין את הבעיה. מה הנתונים ? מה צריך למצוא ? מה חסר ? אלה השאלות שהתלמיד צריך לענות עליהם ובסדר הזה. התשובה ל- "מה חסר ?" היא זו שתגרום למוח "לצוץ" עם פתרון (במידה והתלמיד מכיר את הפתרון, זא"מ שהוא למד וזוכר את החומר הקשור בתרגיל)

"לבדוק את המים לפני שנכנסים? אז זהו שלא, פשוט לקפוץ פנימה" .

גאומטריה, תלמידה בכיתה י, 4 יחל :

שמתי לב שהיא מסתכלת על התרגיל ומנסה לאמוד אם הוא "גדול עליה", זא"מ קוראת את הנתונים, ממקמת אותם בציור ומנסה להסיק מסקנות ולחשוב על דרכי פעולה, כל זאת ללא כתיבה כלל אלא רק בעזרת הדמיון שלה. כמובן שהיא נשארה משותקת אל מול התרגיל היות והוא היה ברמה לא פשוטה ובכך החלה לבנות חומה של תסכול שהובילה כמובן להצהרה השכיחה ביותר שאני מכיר "אין לי מושג מה עושים פה...". בקשתי ממנה שתרשום את 

"אני רואה את הטעות, אבל אני בטוח שגם אתה יכול למצוא אותה"

אלגברה, תלמיד בכיתה יב 3 יחל :

טעה בהעברת אגפים בניסיון לפתור משוואה ריבועית. כתוצאה מכך הוא קיבל מספר שלילי בתוך השורש של נוסחת השורשים. הוא יודע שאין שורש למספר שלילי ולכן מבין שהוא נתקל בבעיה, אבל התלמיד הממוצע לא כל כך ממהר לבדוק את מה שהוא רשם הרגע על הלוח ובד"כ מחכה שהמורה יצביע לו על מקור הטעות. במקרה זה, אם הטעות היא טעות שאני משוכנע שהתלמיד יכול למצוא אותה לבד אני אומר "אני רואה את הטעות, אבל אני בטוח שגם אתה יכול למצוא אותה" לרוב זה מספיק כדי לתת לתלמיד את האישור שיש טעות והוא מסוגל למצוא אותה ומכאן "הדחיפה" שהוא צריך.